arctanxdarctanx的不定积分（arctanxdarctanx的不定积分怎么求）

# arctan x darctan x 的不定积分## 简介在微积分中，不定积分是求导数的逆运算。对于一些复杂的函数组合，其不定积分可能需要通过分部积分法、变量替换等技巧来解决。本文将探讨函数 \( \arctan x \, d(\arctan x) \) 的不定积分，分析其解题过程，并提供详细的推导步骤。---## 一、问题描述给定函数 \( f(x) = \arctan x \)，我们要求解以下不定积分：\[ \int \arctan x \, d(\arctan x) \]这里 \( d(\arctan x) \) 表示对 \( \arctan x \) 求微分，因此可以将其转化为更简单的形式。---## 二、变量替换法### 2.1 替换变量令 \( u = \arctan x \)，则有：\[ du = \frac{1}{1+x^2} dx \]由于 \( d(\arctan x) = du \)，原积分可改写为：\[ \int \arctan x \, d(\arctan x) = \int u \, du \]---### 2.2 积分计算现在我们只需要计算 \( \int u \, du \)。这是一个基本的幂函数积分，结果为：\[ \int u \, du = \frac{u^2}{2} + C \]其中 \( C \) 是积分常数。---### 2.3 回代变量将 \( u = \arctan x \) 代入上式，得到最终结果：\[ \int \arctan x \, d(\arctan x) = \frac{(\arctan x)^2}{2} + C \]---## 三、验证与总结为了验证结果是否正确，我们可以对 \( \frac{(\arctan x)^2}{2} + C \) 求导，看是否能得到原函数 \( \arctan x \, d(\arctan x) \)。\[ \frac{d}{dx}\left( \frac{(\arctan x)^2}{2} + C \right) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (\arctan x) \cdot \frac{1}{1+x^2} \]化简后得到：\[ = \arctan x \cdot \frac{1}{1+x^2} \cdot dx = \arctan x \, d(\arctan x) \]这证明了我们的结果是正确的。---## 四、结论通过变量替换法，我们成功求解了 \( \int \arctan x \, d(\arctan x) \)，其结果为：\[ \boxed{\frac{(\arctan x)^2}{2} + C} \]

arctan x darctan x 的不定积分

简介在微积分中，不定积分是求导数的逆运算。对于一些复杂的函数组合，其不定积分可能需要通过分部积分法、变量替换等技巧来解决。本文将探讨函数 \( \arctan x \, d(\arctan x) \) 的不定积分，分析其解题过程，并提供详细的推导步骤。---

一、问题描述给定函数 \( f(x) = \arctan x \)，我们要求解以下不定积分：\[ \int \arctan x \, d(\arctan x) \]这里 \( d(\arctan x) \) 表示对 \( \arctan x \) 求微分，因此可以将其转化为更简单的形式。---

二、变量替换法

2.1 替换变量令 \( u = \arctan x \)，则有：\[ du = \frac{1}{1+x^2} dx \]由于 \( d(\arctan x) = du \)，原积分可改写为：\[ \int \arctan x \, d(\arctan x) = \int u \, du \]---

2.2 积分计算现在我们只需要计算 \( \int u \, du \)。这是一个基本的幂函数积分，结果为：\[ \int u \, du = \frac{u^2}{2} + C \]其中 \( C \) 是积分常数。---

2.3 回代变量将 \( u = \arctan x \) 代入上式，得到最终结果：\[ \int \arctan x \, d(\arctan x) = \frac{(\arctan x)^2}{2} + C \]---

三、验证与总结为了验证结果是否正确，我们可以对 \( \frac{(\arctan x)^2}{2} + C \) 求导，看是否能得到原函数 \( \arctan x \, d(\arctan x) \)。\[ \frac{d}{dx}\left( \frac{(\arctan x)^2}{2} + C \right) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (\arctan x) \cdot \frac{1}{1+x^2} \]化简后得到：\[ = \arctan x \cdot \frac{1}{1+x^2} \cdot dx = \arctan x \, d(\arctan x) \]这证明了我们的结果是正确的。---

四、结论通过变量替换法，我们成功求解了 \( \int \arctan x \, d(\arctan x) \)，其结果为：\[ \boxed{\frac{(\arctan x)^2}{2} + C} \]