xe-x的积分（xex的积分函数）

## xe⁻ˣ 的积分

简介

本文将详细介绍如何计算不定积分 ∫xe⁻ˣ dx。我们将使用分部积分法来解决这个问题，并逐步解释每一步。

一、分部积分法回顾

分部积分法是求解积分的一种常用方法，尤其适用于被积函数是两个函数乘积的形式。其基本公式如下：∫u dv = uv - ∫v du其中，u 和 v 分别是关于 x 的函数。

二、选择 u 和 dv

为了应用分部积分法，我们需要将被积函数 xe⁻ˣ 分解成 u 和 dv 两部分。选择合适的 u 和 dv 至关重要，目标是使 ∫v du 比原积分更容易计算。在本例中，我们选择：

u = x

dv = e⁻ˣ dx

三、计算 du 和 v

选择 u 和 dv 后，我们需要计算 du 和 v：

du = dx (对 u = x 求导)

v = ∫e⁻ˣ dx = -e⁻ˣ (对 dv = e⁻ˣ dx 积分)

四、应用分部积分公式

现在，我们将 u, du, v 和 dv 代入分部积分公式：∫xe⁻ˣ dx = uv - ∫v du= x(-e⁻ˣ) - ∫(-e⁻ˣ) dx= -xe⁻ˣ + ∫e⁻ˣ dx

五、计算最终积分

现在我们只需要计算 ∫e⁻ˣ dx，这是一个简单的积分：∫e⁻ˣ dx = -e⁻ˣ + C (C 为积分常数)

六、合并结果

将结果代入上一步，得到最终答案：∫xe⁻ˣ dx = -xe⁻ˣ - e⁻ˣ + C= -(x+1)e⁻ˣ + C

七、总结

通过运用分部积分法，并仔细选择 u 和 dv，我们成功地计算了 ∫xe⁻ˣ dx 的不定积分。最终结果为 -(x+1)e⁻ˣ + C，其中 C 为积分常数。 记住，选择合适的 u 和 dv 是成功应用分部积分法的关键。在本例中，选择 u = x 和 dv = e⁻ˣ dx 使得积分过程得以简化。

八、拓展思考

如果被积函数是 x²e⁻ˣ 或 x³e⁻ˣ 呢？ 我们可以重复应用分部积分法，每次降低 x 的幂次，直到积分变得容易计算。这体现了分部积分法在处理这类积分时的强大之处。

xe⁻ˣ 的积分**简介**本文将详细介绍如何计算不定积分 ∫xe⁻ˣ dx。我们将使用分部积分法来解决这个问题，并逐步解释每一步。**一、分部积分法回顾**分部积分法是求解积分的一种常用方法，尤其适用于被积函数是两个函数乘积的形式。其基本公式如下：∫u dv = uv - ∫v du其中，u 和 v 分别是关于 x 的函数。**二、选择 u 和 dv**为了应用分部积分法，我们需要将被积函数 xe⁻ˣ 分解成 u 和 dv 两部分。选择合适的 u 和 dv 至关重要，目标是使 ∫v du 比原积分更容易计算。在本例中，我们选择：* u = x * dv = e⁻ˣ dx**三、计算 du 和 v**选择 u 和 dv 后，我们需要计算 du 和 v：* du = dx (对 u = x 求导) * v = ∫e⁻ˣ dx = -e⁻ˣ (对 dv = e⁻ˣ dx 积分)**四、应用分部积分公式**现在，我们将 u, du, v 和 dv 代入分部积分公式：∫xe⁻ˣ dx = uv - ∫v du= x(-e⁻ˣ) - ∫(-e⁻ˣ) dx= -xe⁻ˣ + ∫e⁻ˣ dx**五、计算最终积分**现在我们只需要计算 ∫e⁻ˣ dx，这是一个简单的积分：∫e⁻ˣ dx = -e⁻ˣ + C (C 为积分常数)**六、合并结果**将结果代入上一步，得到最终答案：∫xe⁻ˣ dx = -xe⁻ˣ - e⁻ˣ + C= -(x+1)e⁻ˣ + C**七、总结**通过运用分部积分法，并仔细选择 u 和 dv，我们成功地计算了 ∫xe⁻ˣ dx 的不定积分。最终结果为 -(x+1)e⁻ˣ + C，其中 C 为积分常数。 记住，选择合适的 u 和 dv 是成功应用分部积分法的关键。在本例中，选择 u = x 和 dv = e⁻ˣ dx 使得积分过程得以简化。**八、拓展思考**如果被积函数是 x²e⁻ˣ 或 x³e⁻ˣ 呢？ 我们可以重复应用分部积分法，每次降低 x 的幂次，直到积分变得容易计算。这体现了分部积分法在处理这类积分时的强大之处。