arctanx负无穷到正无穷积分（arctanx在负无穷到正无穷的积分）

arctanx 从负无穷到正无穷的积分

简介

arctanx 是反正切函数，其导数为 1/(1+x^2)。该积分在许多数学和物理应用中都有应用，例如计算弧长和体积。

积分

``` ∫arctanx dx = x arctanx - 1/2 ln(1+x^2) + C ```其中 C 是积分常数。

推导

使用分部积分法，将 arctanx 设为 u，dx 设为 dv： ``` ∫arctanx dx = u dv - ∫v du ``` 其中： ``` u = arctanx du = 1/(1+x^2) dx dv = dx v = x ```代入这些值，我们得到： ``` ∫arctanx dx = x arctanx - ∫x / (1+x^2) dx ```使用另一轮分部积分，将 x 设为 u，1/(1+x^2) 设为 dv： ``` ∫x / (1+x^2) dx = u dv - ∫v du ``` 其中： ``` u = x du = dx dv = 1/(1+x^2) dx v = arctanx ```代入这些值，我们得到： ``` ∫x / (1+x^2) dx = x arctanx - 1/2 ln(1+x^2) + C ```将这个结果代回第一个积分，我们得到： ``` ∫arctanx dx = x arctanx - 1/2 ln(1+x^2) + C ```

结论

arctanx 从负无穷到正无穷的积分是 x arctanx - 1/2 ln(1+x^2) + C，其中 C 是积分常数。

**arctanx 从负无穷到正无穷的积分****简介** arctanx 是反正切函数，其导数为 1/(1+x^2)。该积分在许多数学和物理应用中都有应用，例如计算弧长和体积。**积分** ``` ∫arctanx dx = x arctanx - 1/2 ln(1+x^2) + C ```其中 C 是积分常数。**推导** 使用分部积分法，将 arctanx 设为 u，dx 设为 dv： ``` ∫arctanx dx = u dv - ∫v du ``` 其中： ``` u = arctanx du = 1/(1+x^2) dx dv = dx v = x ```代入这些值，我们得到： ``` ∫arctanx dx = x arctanx - ∫x / (1+x^2) dx ```使用另一轮分部积分，将 x 设为 u，1/(1+x^2) 设为 dv： ``` ∫x / (1+x^2) dx = u dv - ∫v du ``` 其中： ``` u = x du = dx dv = 1/(1+x^2) dx v = arctanx ```代入这些值，我们得到： ``` ∫x / (1+x^2) dx = x arctanx - 1/2 ln(1+x^2) + C ```将这个结果代回第一个积分，我们得到： ``` ∫arctanx dx = x arctanx - 1/2 ln(1+x^2) + C ```**结论** arctanx 从负无穷到正无穷的积分是 x arctanx - 1/2 ln(1+x^2) + C，其中 C 是积分常数。