刚体的平行轴定理（刚体的平行轴定理图像）

## 刚体的平行轴定理### 简介刚体的平行轴定理是力学中一个重要的定理，它揭示了刚体绕两个平行轴的转动惯量之间的关系。其中一个轴必须通过刚体的质心，而另一个轴可以是任意平行于质心轴的轴。该定理在计算复杂形状刚体的转动惯量时非常有用，可以简化计算过程。### 定理内容平行轴定理指出：

一个刚体对任一轴的转动惯量，等于该刚体对通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量加上该刚体的质量与其质心到该轴距离的平方的乘积。

### 数学表达式设：

$I$ 为刚体对某一轴的转动惯量

$I_c$ 为刚体对通过质心并与该轴平行轴的转动惯量

$M$ 为刚体的质量

$d$ 为两平行轴之间的距离则平行轴定理的数学表达式为：$I = I_c + Md^2$### 推导#### 1. 质点系考虑一个由 $n$ 个质点组成的质点系，每个质点质量为 $m_i$，到某一轴的距离为 $r_i$，到通过质心并与该轴平行轴的距离为 $r_{ci}$，质心到该轴的距离为 $d$。根据转动惯量的定义，该质点系对该轴的转动惯量为：$I = \sum_{i=1}^n m_i r_i^2$根据几何关系，有：$r_i^2 = r_{ci}^2 + d^2 + 2r_{ci}d\cos\theta_i$其中 $\theta_i$ 为 $r_{ci}$ 与 $d$ 之间的夹角。将上式代入转动惯量公式，得到：$I = \sum_{i=1}^n m_i (r_{ci}^2 + d^2 + 2r_{ci}d\cos\theta_i)$展开并整理，得：$I = \sum_{i=1}^n m_i r_{ci}^2 + \sum_{i=1}^n m_i d^2 + 2d\sum_{i=1}^n m_i r_{ci}\cos\theta_i$注意到：

$\sum_{i=1}^n m_i r_{ci}^2$ 即为质点系对通过质心的轴的转动惯量 $I_c$

$\sum_{i=1}^n m_i d^2 = Md^2$，其中 $M = \sum_{i=1}^n m_i$ 为质点系的总质量

$\sum_{i=1}^n m_i r_{ci}\cos\theta_i$ 表示质点系相对于质心的静矩，由于质心是质点系的质量中心，因此静矩为零。所以最终得到平行轴定理的表达式：$I = I_c + Md^2$#### 2. 刚体对于刚体，可以将其视为由无数个质点组成。将上述推导过程应用于刚体，同样可以得到平行轴定理。### 应用平行轴定理在力学中有广泛的应用，例如：

计算复杂形状物体的转动惯量，例如圆环、圆盘、细杆等。

分析物体的旋转运动，例如物理摆、陀螺等。

设计机械结构，例如飞轮、传动轴等。### 总结刚体的平行轴定理是力学中的一个基本定理，它将刚体绕不同轴的转动惯量联系起来。该定理在解决实际问题时非常有用，可以简化计算过程，并帮助我们更好地理解刚体的转动特性。

刚体的平行轴定理

简介刚体的平行轴定理是力学中一个重要的定理，它揭示了刚体绕两个平行轴的转动惯量之间的关系。其中一个轴必须通过刚体的质心，而另一个轴可以是任意平行于质心轴的轴。该定理在计算复杂形状刚体的转动惯量时非常有用，可以简化计算过程。

定理内容平行轴定理指出：**一个刚体对任一轴的转动惯量，等于该刚体对通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量加上该刚体的质量与其质心到该轴距离的平方的乘积。**

数学表达式设：* $I$ 为刚体对某一轴的转动惯量 * $I_c$ 为刚体对通过质心并与该轴平行轴的转动惯量 * $M$ 为刚体的质量 * $d$ 为两平行轴之间的距离则平行轴定理的数学表达式为：$I = I_c + Md^2$

推导

1. 质点系考虑一个由 $n$ 个质点组成的质点系，每个质点质量为 $m_i$，到某一轴的距离为 $r_i$，到通过质心并与该轴平行轴的距离为 $r_{ci}$，质心到该轴的距离为 $d$。根据转动惯量的定义，该质点系对该轴的转动惯量为：$I = \sum_{i=1}^n m_i r_i^2$根据几何关系，有：$r_i^2 = r_{ci}^2 + d^2 + 2r_{ci}d\cos\theta_i$其中 $\theta_i$ 为 $r_{ci}$ 与 $d$ 之间的夹角。将上式代入转动惯量公式，得到：$I = \sum_{i=1}^n m_i (r_{ci}^2 + d^2 + 2r_{ci}d\cos\theta_i)$展开并整理，得：$I = \sum_{i=1}^n m_i r_{ci}^2 + \sum_{i=1}^n m_i d^2 + 2d\sum_{i=1}^n m_i r_{ci}\cos\theta_i$注意到：* $\sum_{i=1}^n m_i r_{ci}^2$ 即为质点系对通过质心的轴的转动惯量 $I_c$ * $\sum_{i=1}^n m_i d^2 = Md^2$，其中 $M = \sum_{i=1}^n m_i$ 为质点系的总质量 * $\sum_{i=1}^n m_i r_{ci}\cos\theta_i$ 表示质点系相对于质心的静矩，由于质心是质点系的质量中心，因此静矩为零。所以最终得到平行轴定理的表达式：$I = I_c + Md^2$

2. 刚体对于刚体，可以将其视为由无数个质点组成。将上述推导过程应用于刚体，同样可以得到平行轴定理。

应用平行轴定理在力学中有广泛的应用，例如：* 计算复杂形状物体的转动惯量，例如圆环、圆盘、细杆等。 * 分析物体的旋转运动，例如物理摆、陀螺等。 * 设计机械结构，例如飞轮、传动轴等。

总结刚体的平行轴定理是力学中的一个基本定理，它将刚体绕不同轴的转动惯量联系起来。该定理在解决实际问题时非常有用，可以简化计算过程，并帮助我们更好地理解刚体的转动特性。