x的平方分1的积分（x的平方+1的积分）

简介

积分是在微积分中计算面积、体积和其他几何性质的重要工具。而求解分式函数的积分，如 x^2/(1+x^2)，是一个常见的问题。

多级标题

x^2/(1+x^2) 的积分

内容详细说明

步骤 1：三角替换

令 x = tan θ，则 dx = sec^2 θ dθ。代入原积分，得到：``` ∫ (x^2/(1+x^2)) dx = ∫ ((tan^2 θ)/(1+tan^2 θ)) sec^2 θ dθ ```

步骤 2：化简

使用三角恒等式 tan^2 θ + 1 = sec^2 θ，化简被积函数为：``` ∫ ((tan^2 θ)/(1+tan^2 θ)) sec^2 θ dθ = ∫ tan^2 θ dθ ```

步骤 3：积分

使用幂法则，积分得到：``` ∫ tan^2 θ dθ = ∫ (sec^2 θ - 1) dθ = tan θ - θ + C ```

步骤 4：代回

将 θ = arctan(x) 代回，得到最终结果：``` ∫ (x^2/(1+x^2)) dx = tan θ - θ + C

= arctan(x) - x + C

```其中 C 是积分常数。

**简介**积分是在微积分中计算面积、体积和其他几何性质的重要工具。而求解分式函数的积分，如 x^2/(1+x^2)，是一个常见的问题。**多级标题****x^2/(1+x^2) 的积分****内容详细说明****步骤 1：三角替换**令 x = tan θ，则 dx = sec^2 θ dθ。代入原积分，得到：``` ∫ (x^2/(1+x^2)) dx = ∫ ((tan^2 θ)/(1+tan^2 θ)) sec^2 θ dθ ```**步骤 2：化简**使用三角恒等式 tan^2 θ + 1 = sec^2 θ，化简被积函数为：``` ∫ ((tan^2 θ)/(1+tan^2 θ)) sec^2 θ dθ = ∫ tan^2 θ dθ ```**步骤 3：积分**使用幂法则，积分得到：``` ∫ tan^2 θ dθ = ∫ (sec^2 θ - 1) dθ = tan θ - θ + C ```**步骤 4：代回**将 θ = arctan(x) 代回，得到最终结果：``` ∫ (x^2/(1+x^2)) dx = tan θ - θ + C **= arctan(x) - x + C** ```其中 C 是积分常数。