定积分的换元积分法（定积分的换元积分法需不需要换回原变量）

## 定积分的换元积分法### 简介换元积分法是求解积分的一种重要方法，它可以将复杂的积分转化为形式更为简单的积分。在处理定积分时，换元积分法同样适用，但需要注意一些细节和技巧。### 一、定积分换元法的基本步骤定积分的换元积分法步骤与不定积分类似，但需要额外考虑积分区间的变换。1.

选择合适的变量替换:

寻找被积函数中的一部分，将其用一个新的变量 \(u\) 替代。一般来说，选择能够简化被积函数或者使积分更容易计算的替换。 2.

计算微分:

对替换式 \(u = g(x)\) 两边求微分，得到 \(du = g'(x)dx\)。 3.

变换积分限:

将原积分限 \(x = a\) 和 \(x = b\) 分别代入替换式 \(u = g(x)\)，得到新的积分限 \(u = g(a)\) 和 \(u = g(b)\)。 4.

替换被积函数和积分限:

将步骤 2 和步骤 3 得到的结果代入原积分，完成积分变量和积分限的替换，得到一个关于新变量 \(u\) 的定积分。 5.

计算新积分:

计算步骤 4 中得到的关于 \(u\) 的定积分。### 二、实例讲解以下通过几个例子来说明定积分换元法的具体应用。

例 1：

计算定积分 \(\int_{0}^{1} 2x\sqrt{1+x^2} dx\).

解:

1.

选择替换:

令 \(u = 1 + x^2\)，则 \(du = 2x dx\). 2.

变换积分限:

当 \(x = 0\) 时，\(u = 1 + 0^2 = 1\).

当 \(x = 1\) 时，\(u = 1 + 1^2 = 2\). 3.

替换被积函数和积分限:

原积分变为：$$\int_{0}^{1} 2x\sqrt{1+x^2} dx = \int_{1}^{2} \sqrt{u} du $$ 4.

计算新积分:

$$\int_{1}^{2} \sqrt{u} du = \frac{2}{3} u^{3/2} \Big|_{1}^{2} = \frac{2}{3}(2\sqrt{2}-1)$$

例 2：

计算定积分 \(\int_{0}^{\pi/2} \sin^2 x \cos x dx\).

解:

1.

选择替换:

令 \(u = \sin x\), 则 \(du = \cos x dx\). 2.

变换积分限:

当 \(x = 0\) 时，\(u = \sin 0 = 0\).

当 \(x = \pi/2\) 时，\(u = \sin (\pi/2) = 1\). 3.

替换被积函数和积分限:

原积分变为：$$\int_{0}^{\pi/2} \sin^2 x \cos x dx = \int_{0}^{1} u^2 du$$ 4.

计算新积分:

$$\int_{0}^{1} u^2 du = \frac{1}{3} u^3 \Big|_{0}^{1} = \frac{1}{3}$$### 三、注意事项

在选择替换变量时，要确保替换后的积分比原积分更易计算。

不要忘记变换积分限，否则会导致计算结果错误。

在完成积分计算后，可以将结果代入原变量进行验证。### 总结定积分的换元积分法是求解定积分的一种重要方法，熟练掌握该方法能够帮助我们更有效地解决各种积分问题。

定积分的换元积分法

简介换元积分法是求解积分的一种重要方法，它可以将复杂的积分转化为形式更为简单的积分。在处理定积分时，换元积分法同样适用，但需要注意一些细节和技巧。

一、定积分换元法的基本步骤定积分的换元积分法步骤与不定积分类似，但需要额外考虑积分区间的变换。1. **选择合适的变量替换:** 寻找被积函数中的一部分，将其用一个新的变量 \(u\) 替代。一般来说，选择能够简化被积函数或者使积分更容易计算的替换。 2. **计算微分:** 对替换式 \(u = g(x)\) 两边求微分，得到 \(du = g'(x)dx\)。 3. **变换积分限:** 将原积分限 \(x = a\) 和 \(x = b\) 分别代入替换式 \(u = g(x)\)，得到新的积分限 \(u = g(a)\) 和 \(u = g(b)\)。 4. **替换被积函数和积分限:** 将步骤 2 和步骤 3 得到的结果代入原积分，完成积分变量和积分限的替换，得到一个关于新变量 \(u\) 的定积分。 5. **计算新积分:** 计算步骤 4 中得到的关于 \(u\) 的定积分。

二、实例讲解以下通过几个例子来说明定积分换元法的具体应用。**例 1：** 计算定积分 \(\int_{0}^{1} 2x\sqrt{1+x^2} dx\).**解:**1. **选择替换:** 令 \(u = 1 + x^2\)，则 \(du = 2x dx\). 2. **变换积分限:** * 当 \(x = 0\) 时，\(u = 1 + 0^2 = 1\).* 当 \(x = 1\) 时，\(u = 1 + 1^2 = 2\). 3. **替换被积函数和积分限:** 原积分变为：$$\int_{0}^{1} 2x\sqrt{1+x^2} dx = \int_{1}^{2} \sqrt{u} du $$ 4. **计算新积分:**$$\int_{1}^{2} \sqrt{u} du = \frac{2}{3} u^{3/2} \Big|_{1}^{2} = \frac{2}{3}(2\sqrt{2}-1)$$**例 2：** 计算定积分 \(\int_{0}^{\pi/2} \sin^2 x \cos x dx\).**解:**1. **选择替换:** 令 \(u = \sin x\), 则 \(du = \cos x dx\). 2. **变换积分限:*** 当 \(x = 0\) 时，\(u = \sin 0 = 0\).* 当 \(x = \pi/2\) 时，\(u = \sin (\pi/2) = 1\). 3. **替换被积函数和积分限:**原积分变为：$$\int_{0}^{\pi/2} \sin^2 x \cos x dx = \int_{0}^{1} u^2 du$$ 4. **计算新积分:**$$\int_{0}^{1} u^2 du = \frac{1}{3} u^3 \Big|_{0}^{1} = \frac{1}{3}$$

三、注意事项* 在选择替换变量时，要确保替换后的积分比原积分更易计算。 * 不要忘记变换积分限，否则会导致计算结果错误。 * 在完成积分计算后，可以将结果代入原变量进行验证。

总结定积分的换元积分法是求解定积分的一种重要方法，熟练掌握该方法能够帮助我们更有效地解决各种积分问题。