异面直线间的距离秒杀公式（异面直线的距离的求法）

异面直线间的距离秒杀公式

简介

异面直线间的距离是指两条不共面的直线之间的最短距离。计算异面直线间的距离是一个常见的问题，在工程、物理和计算机图形学等领域都有应用。

原理

为了计算异面直线间的距离，首先需要找出两条直线所在平面的法向量。然后，计算两条直线在该平面上投影之间的距离。最后，将投影距离乘以法向量的长度，即可得到异面直线间的距离。

公式

异面直线间的距离公式为：``` d = |(b - a) · n| / |n| ```其中：

d 为异面直线间的距离

a、b 为两条直线上的任意两点

n 为两条直线所在平面法向量

|·| 表示向量长度

详细说明

1. 求解法向量

法向量可以由两条直线的方向向量叉乘得到：``` n = (v1 × v2) / |v1 × v2| ```其中：

v1 为第一条直线的方向向量

v2 为第二条直线的方向向量

2. 求解投影距离

投影距离可以通过两条直线在该平面上的投影之间的距离得到：``` d' = |(a' - b') · u| / |u| ```其中：

d' 为投影距离

a'、b' 为两条直线在该平面上投影上的任意两点

u 为该平面上单位向量

3. 计算异面直线间的距离

将投影距离乘以法向量的长度，即可得到异面直线间的距离：``` d = d' · |n| ```

示例

求解空间中两条异面直线 L1 和 L2 之间的距离，其中：

L1: x + y - z = 0

L2: x - y + z = 0

解：

1.

求解方向向量

v1 = (1, 1, -1)

v2 = (1, -1, 1)2.

求解法向量

n = (v1 × v2) / |v1 × v2| = (2, 0, 2) / √8 = (1, 0, 1)3.

求解投影距离

L1 在 xy 平面上的投影为 x + y = 0，L2 在 xy 平面上的投影为 x - y = 0。在这两个投影上取任意两点 a' = (0, 0) 和 b' = (1, 1)，得到：

d' = |(a' - b') · u| / |u| = |(-1, -1) · (1, 0)| / √1 = √24.

求解异面直线间的距离

d = d' · |n| = √2 · 1 = √2因此，两条直线 L1 和 L2 之间的距离为 √2。

**异面直线间的距离秒杀公式****简介**异面直线间的距离是指两条不共面的直线之间的最短距离。计算异面直线间的距离是一个常见的问题，在工程、物理和计算机图形学等领域都有应用。**原理**为了计算异面直线间的距离，首先需要找出两条直线所在平面的法向量。然后，计算两条直线在该平面上投影之间的距离。最后，将投影距离乘以法向量的长度，即可得到异面直线间的距离。**公式**异面直线间的距离公式为：``` d = |(b - a) · n| / |n| ```其中：* d 为异面直线间的距离 * a、b 为两条直线上的任意两点 * n 为两条直线所在平面法向量 * |·| 表示向量长度**详细说明****1. 求解法向量**法向量可以由两条直线的方向向量叉乘得到：``` n = (v1 × v2) / |v1 × v2| ```其中：* v1 为第一条直线的方向向量 * v2 为第二条直线的方向向量**2. 求解投影距离**投影距离可以通过两条直线在该平面上的投影之间的距离得到：``` d' = |(a' - b') · u| / |u| ```其中：* d' 为投影距离 * a'、b' 为两条直线在该平面上投影上的任意两点 * u 为该平面上单位向量**3. 计算异面直线间的距离**将投影距离乘以法向量的长度，即可得到异面直线间的距离：``` d = d' · |n| ```**示例**求解空间中两条异面直线 L1 和 L2 之间的距离，其中：* L1: x + y - z = 0 * L2: x - y + z = 0**解：**1. **求解方向向量*** v1 = (1, 1, -1) * v2 = (1, -1, 1)2. **求解法向量*** n = (v1 × v2) / |v1 × v2| = (2, 0, 2) / √8 = (1, 0, 1)3. **求解投影距离**L1 在 xy 平面上的投影为 x + y = 0，L2 在 xy 平面上的投影为 x - y = 0。在这两个投影上取任意两点 a' = (0, 0) 和 b' = (1, 1)，得到：* d' = |(a' - b') · u| / |u| = |(-1, -1) · (1, 0)| / √1 = √24. **求解异面直线间的距离*** d = d' · |n| = √2 · 1 = √2因此，两条直线 L1 和 L2 之间的距离为 √2。