1+x平方分之一的积分（广义积分公式）

1+x² 分之一的积分

简介

求 1+x² 分之一的积分是一个常见的积分问题，在微积分中经常遇到。掌握求解此积分的方法非常重要，因为它在工程、物理和数学等领域有着广泛的应用。

一级标题：求解方法

二级标题：幂次法则

求解 1+x² 分之一的积分可以使用幂次法则。幂次法则适用于 xⁿ 的积分，其形式为：``` ∫ xⁿ dx = (x^(n+1))/(n+1) + C ```其中 C 是积分常数。

二级标题：应用幂次法则

对于 1+x² 分之一，令 u = 1+x²。则 du/dx = 2x。因此，``` ∫ (1+x²)^(-1/2) dx = ∫ u^(-1/2) (du/2x) dx ```应用幂次法则，得到：``` ∫ (1+x²)^(-1/2) dx = (2/2)u^(1/2) + C ```化简后，得到：``` ∫ (1+x²)^(-1/2) dx = √(1+x²) + C ```其中 C 是积分常数。

示例

求：``` ∫ (1+x²)^(-1/2) dx ```

解答

使用上述方法，得到：``` ∫ (1+x²)^(-1/2) dx = √(1+x²) + C ```

二级标题：三角换元法

求解 1+x² 分之一的积分还可以使用三角换元法。三角换元法适用于含有平方和形式 (a²+x²)ⁿ 的积分。

二级标题：应用三角换元法

令 x = a tan θ。则 dx = a sec² θ dθ。因此，``` ∫ (1+x²)^(-1/2) dx = ∫ (1+a² tan² θ)^(-1/2) a sec² θ dθ ```利用三角恒等式 sin² θ + cos² θ = 1，化简为：``` ∫ (1+x²)^(-1/2) dx = ∫ (a² sec² θ)^(-1/2) a sec² θ dθ ```应用幂次法则，得到：``` ∫ (1+x²)^(-1/2) dx = a∫ sec θ dθ ```利用三角积分公式，得到：``` ∫ (1+x²)^(-1/2) dx = a ln |sec θ + tan θ| + C ```代回 x = a tan θ，得到：``` ∫ (1+x²)^(-1/2) dx = a ln |(1+√(1+x²))/x| + C ```其中 C 是积分常数。

示例

求：``` ∫ (1+x²)^(-1/2) dx ```

解答

使用三角换元法，得到：``` ∫ (1+x²)^(-1/2) dx = a ln |(1+√(1+x²))/x| + C ```

结论

求解 1+x² 分之一的积分可以采用幂次法则或三角换元法。掌握这两种方法对于解决涉及此类积分的微积分问题至关重要。